Funciones pares e impares

Vamos a trabajar con Geogebra para graficar y analizar algunas funciones. Primero te invito a ver este tutorial sobre como graficar funciones con Geogebra


Ahora en Geogebra en el mismo sistema de ejes cartesianos grafica:
f(x)=x^2 (elevado al cuadrado)
f(x)=x^3 (elevado al cubo)

¿Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna de las anteriores?
¿Qué tiene que ver la paridad con la simetría de la gráfica de la función?

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Agustina Ibarra escribió:

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¿Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna de las anteriores?
La funcion es par cuando su grafica es simétrica con respecto al eje.
La función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al origen.
pero cuando la función no tiene paridad es cuando no es par o impar por ejemplo o sea no cumplen con nunguna de las dos condiciones anteriores , por ejemplo:
Función Par: Si una función f verifica que f(x)=f(-x), se dice que la función es par y entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY.

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica entonces f(a)=f(-a)=b, es decir el punto (-a,b) también pertenece a la gráfica: los puntos (a,b) y (-a,b) están a la misma altura, b y a igual distancia, |a|, del eje OY.

Ejemplos: Cualquier función polinómica que sólo tenga términos de grado par es una función par, como f(x)=0.25x4-2x2; f(x)=x2-1. También son pares las funciones f(x)=(x3-5x)/(x3-2x), f(x)=cos(x)

Función Impar: Si una función verifica que f(-x)=-f(x), se dice que es función impar y entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0).

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica, entonces b=f(a) « -b=-f(a)=f(-a)

Los puntos P(a,b) y P'(-a,-b) pertenecen a la gráfica y evidentemente son simétricos respecto del origen O(0,0) puesto que dist(OP)=dis(OP'), pues



Ejemplos: Cualquier función polinómica con sólo términos de grado impar como f(x)=5x3-5x es función impar. También son impares f(x)=x3/(x2+1); f(x)=sen(x); f(x)=tg(x)

f(x)=x+1 no es ni par ni impar

¿Qué tiene que ver la paridad con la simetría de la gráfica de la función?

Una función no tiene paridad si no es par ni impar......

Se entiende?

Para ser par debe ser su gráfico simétrico con respecto al eje "y"- ( con simetría axial)

Para ser impar debe ser su gráfico simétrico respecto del origen del sistema.
Una función no tiene paridad si no es par ni impar.

Se entiende?

Para ser par debe ser su gráfico simétrico con respecto al eje "y"- ( con simetría axial)

Para ser impar debe ser su gráfico simétrico respecto del origen del sistema

¿como determinamos si una funcion es par , impar o ninguna de las anteriores?

Bueno pachu una función es par si para todo número x perteneciente a su dominio, el numero -x también está en el dominio y además:

f(x)= f(-x)

Además si ves gráficamente una función es par si, y solo si, su grafica es simétrica con respecto al eje y, osea se refleja en y

Ejemplo: f(x) = x2-5

Reemplazamos x por -x en f(x) = x2-5. Entonces:

f(-x) = (-x)2 - 5 = x2 - 5 = f(x). por lo tanto la función es par.



Por otro lado una función es impar si para todo número x perteneciente a su dominio, el número -x también está en el dominio y además

f(-x) = -f(x)

Si analizamos gráficamente decimos que una función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al origen.

Ejemplo : f(x) = x3 - x

La función es impar, ya que

f(-x)= (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)

Son funciones impares también los otros polinomios de la forma xk en donde k es número impar.

pero cuando la función no tiene paridad es cuando no es par o impar por ejemplo o sea no cumplen con ninguna de las dos condiciones anteriores , por ejemplo:

f(x)=x+1 no es ni par ni impar.

2-¿que tiene que ver la paridad con la simetria de la grafica de la funcion?

No se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. Así, la función xn es una función par si n es un entero par o una función impar si n es un entero impar.

1-¿como puedo determinar si una función es par, impar o ninguna de las anteriores?

Bueno hay muchas funciones que no son ni pares ni impares. En las funciones polinómicas ocurre si hay términos tanto de grado par como impar. Por ejemplo:

y = 3x^5+2x^4
y = 2x^2-3x+1
etc

En general, una función es par si f(x) = f(-x) (si todos los términos son de grado par). Ejemplos:
y = x^2
y = 5x^4
y = 2x^2-1
y = 7x^6+2x^4-3x^2
y = cos x

Y una función es impar si f(-x) = -f(x) (si todos los términos son de grado impar). Ejemplos:
y = 1/x
y = x^3
y = 3x^5-1
y = sen x


Además, si una función es par/impar, no le afectan los coeficientes de las incógnitas. Por ejemplo, las funciones y = kx^2 (k incluido en R) son pares; las funciones kx^3 (k incluido en R) son impares...

cuando la función no tiene paridad es cuando no es par o impar por ejemplo o sea no cumplen con ninguna de las dos condiciones anteriores , por ejemplo:

f(x)=x+1 no es ni par ni impar.

2-¿Que tiene que ver la paridad con la simetria de la gráfica de la función?

La función paridad es una función booleana simétrica, de mucha utilidad en la investigación teórica de complejidad de circuitos.

En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Las funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchos analisis . Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. Así, la función xn es una función par si n es un entero par o una función impar si n es un entero impar.

-La funcion es par cuando su grafica es simétrica con respecto al eje.
-La función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al origen.
-Cuando la función no tiene paridad es cuando no es par o impar por ejemplo o sea no cumplen con nunguna de las dos condiciones anteriores.
-Una función par es una donde f(x) = f(-x), mientras que para una función impar f(x) = - f(-x).
-Funciones pares:Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).
-Funciones impares:Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).
-Si una gráfica es par y (x,y) es un punto de la gráfica entonces (-x,y) también está
en la gráfica. Esto significa que la gráfica es simétrica con respecto al eje.
-Para determinar la paridad de la función se evalúa f en –x. De ahí, se pasa a determinar cual
relación se cumple: f (-x)= f (x) o f(-x) = -f (x)  o ninguna de la<s anteriores.

¿Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna de las anteriores?
◘Una fuinción es par si F(x) La sustituimos por su opuesto F(-x) y nos da el mismo resultado.
Y su grafica es simetrica.
Ejemplo:
F(x)=x²
F(2)=2²=4
F(-2)=(-2)²=4

◘La función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen.Si una función verifica que f(-x)=-f(x), se dice que es impar.
Ejemplo:
F(x)=x³
F(3)=3³=27
F(-3)=(-3)=-27

◘Cuando la función no tiene paridad es cuando no es par o impar por ejemplo o sea no cumplen con nunguna de las dos condiciones anteriores.
Ejemplo:
F(x)=3x+2
F(3)=3.3+2=11
F(-3)=3.(-3)+2=-7
(No nos dio el mismo numero, entonces no es par, tampoco nos dio el opuesto, o sea que no es impar,entonces no es ninguno.)

¿Qué tiene que ver la paridad con la simetría de la gráfica de la función?

◘En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. Así, la función xn es una función par si n es un entero par o una función impar si n es un entero impar.